（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（2）求实数a的取值范围，使函数g（x）=f（x）+2x+1在R上恒为增函数．在线课程解：（1）当a=0时，f（x）=x|x|，定义域为R，
又f（-x）=（-x）|-x|=-x|x|=-f（x），∴f（x）是奇函数． …（3分）
当a≠0时，f（a）=0，f（-a）=-a|a|，∵f（-a）≠±f（a），
∴f（x）是非奇非偶函数． …（6分）
∴当a=0时，f（x）为奇函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数． …（7分）
（2）
在R上恒为增函数，…（8分）∴y=x2+（2-a）x+1在[a，+∞）上是增函数，且y=-x2+（2+a）x+1在（-∞，a]上是增函数，…（10分）
∴
，…（14分）∴-2≤a≤2． …（15分）
分析：（1）对参数a进行讨论，利用奇偶函数的定义，即可得出结论；
（2）将函数g（x）=f（x）+2x+1写成分段函数的形式，分别确定各段的单调性，即可建立不等式组，从而可求实数a的取值范围．
点评：本题考查函数的单调性与奇偶性，考查分类讨论的数学思想，考查分段函数的单调性，解题的关键是合理化去绝对值符号．