已知数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+1a_n+2a_n+1=3a_n+2，n∈N₊，记．
（Ⅰ） 求证：数列b_n是等比数列；
（Ⅱ） 若a_n≤t•4ⁿ对任意n∈N₊恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）证明：．在线课程解：（Ⅰ）证明：∵a_n+1a_n+2a_n+1=3a_n+2，∴，∴
两式相除得
∴数列{b_n}是首项为，公比为的等比数列．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∴
由a_n≤t•4ⁿ得易得是关于n的减函数，∴，∴（8分）
（Ⅲ）．∴
=．∴．（13分）
分析：（Ⅰ）由条件先得，再分别表示∴a_n+1-2，a_n+1+1，两式相除，可得数列{b_n}是首项为，公比为的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，对a_n≤t•4ⁿ分离参数得，从而可解；
（Ⅲ）由于，利用放缩法可证．
点评：本题考查构造新数列是求数列的通项，考查分离参数法求解恒成立问题，考查放缩法证明不等式，属于中档题．