已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，当x=-1时，取得极大值7，当x=3时，取得极小值，求这个极小值及f（x）的解析式．在线课程解：f^′（x）=3x²+2ax+b．
∵当x=-1时，取得极大值7，当x=3时，取得极小值，
∴，解得．
∴f^′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），经验证满足题意．
∴f（x）=x³-3x²-9x+2，
∴f（3）=3³-3×3²-9×3+2=-25．
即当x=3时，取得极小值f（3）=-25．
分析：利用函数f（x）在x=x₀取得极值的充要条件f^′（x₀）=0且f^′（x）在x=x₀的左右附近符号相反即可得出a，b的值，再利用极大值即可得到c，从而得出答案．
点评：熟练掌握函数f（x）在x=x₀取得极值的充要条件是解题的关键．