如图，将边长为3的正方形ABCD绕中心O顺时针旋转α （0＜α＜）得到正方形A′B′C′D′．根据平面几何知识，有以下两个结论：
①∠A′FE=α；
②对任意α （0＜α＜），△EAL，△EA′F，△GBF，△GB′H，△ICH，△IC′J，△KDJ，△KD′L均是全等三角形．
（1）设A′E=x，将x表示为α的函数；
（2）试确定α，使正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，并求最小面积．在线课程解：（1）在Rt△EA′F中，因为∠A′FE=α，A′E=x，
所以EF=，A′F=．
由题意AE=A′E=x，BF=A′F=，
所以AB=AE+EF+BF=x++=3．
所以x=，α∈（0，） …（6分）
（2）S_△A′EF=•A′E•A′F=•x•=
=（）²•=． …（10分）
令t=sinα+cosα，则sinαcosα=．
因为α∈（0，），所以α+∈（，），所以t=sin（α+）∈（1，]．
S_△A′EF==（1-）≤（1-）．
正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积S=S_{正方形A′B′C′D′}-4S_△A′EF≥9-9 （1-）=18（-1）．
当t=，即α=时等号成立． …（15分）
答：当α=时，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，最小值为18（-1）．…（16分）
分析：（1）利用AB=AE+EF+BF=3，表示出相应线段长，即可将x表示为α的函数；
（2）求正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，即求S_△A′EF的最大值，表示出S_△A′EF，利用换元法，即可求得面积的最大值，从而可得结论．
点评：本题考查函数模型的构建，考查面积的计算，考查换元法，考查学生利用数学知识解决实际问题，属于中档题．