已知函数．
（1）讨论并证明函数f（x）在区间（0，+∞）的单调性；
（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．在线课程解：（1）函数f（x）在（0，+∞）上单调增
证明：任取0＜x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）==，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
∴
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以函数f（x）在（0，+∞）上单调增
（2）原不等式等价于对任意的x∈[1，+∞）恒成立
整理得，对任意的x∈[1，+∞）恒成立
若m＞0，则左边对应的函数，开口向上，故x∈[1，+∞）时，必有大于0的函数值
∴m＜0，且，
∴m＜0，且
∴m＜-1
分析：（1）利用单调性的定义，根据步骤：取值，作差，变形，定号下结论，即可得到结论；
（2）原不等式等价于对任意的x∈[1，+∞）恒成立，等价于对任意的x∈[1，+∞）恒成立，从而可得m＜0，且，进而可求实数m的取值范围．
点评：本题重点考查函数的单调性，考查函数恒成立问题，依据单调性的定义，正确转化是解题的关键．