数列{a_n}中，a_n=|n-k|+|n+2k|，若对任意的正整数n，a_n≥a₃=a₄都成立，则k的取值范围为________．在线课程k≤-2或k≥3
分析：由绝对值不等式的性质可知：a_n=|n-k|+|n+2k|=|n-k|+|-2k-n|≥|n-k-2k-n|=|3k|，当且仅当（n-k）（-2k-n）≥0时，a_n取得最小值，再根据a_n≥a₃=a₄恒成立，故a₃=a₄为最小值，从而可求k的取值范围．
解答：a_n=|n-k|+|n+2k|=|n-k|+|-2k-n|≥|n-k-2k-n|=|3k|，
当且仅当（n-k）（-2k-n）≥0时，即当且仅当
k＞0时，-2k≤n≤k时，a_n取得最小值，又因为a_n≥a₃=a₄恒成立，故a₃=a₄为最小值，即-2k≤3≤k，且-2k≤4≤k，解得k≥3；
k＜0时，k≤n≤-2k时，a_n取得最小值，又因为a_n≥a₃=a₄恒成立，故a₃=a₄为最小值，即k≤3≤-2k，且k≤4≤-2k，解得k≤-2；
故答案为k≤-2或k≥3．
点评：本题考查数列与不等式的综合，考查绝对值不等式的性质，属于基础题．