已知椭圆的离心率为，以右焦点为圆心，椭圆长半轴为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）E、F是椭圆C上的两个动点，为定点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．在线课程（1）解：设椭圆的右焦点为（c，0）
∵以右焦点为圆心，椭圆长半轴为半径的圆与直线相切
∴
∵e=，∴a=2c
∴，∴c=1
∴a=2
∴b²=a²-c²=3
∴
（2）证明：设直线AE方程：得，
代入椭圆方程，消元可得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4-12=0
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．
因为点在椭圆上，
所以x₁=，y₁=kx₁+-k．
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以-k代k，
可得x₂=，y₂=-kx₂++k．
所以直线EF的斜率k_EF==．
即直线EF的斜率为定值，其值为．
分析：（1）设椭圆的右焦点，根据以右焦点为圆心，椭圆长半轴为半径的圆与直线相切，即可确定椭圆的几何量，从而可求椭圆的方程；
（2）设直线AE方程代入椭圆方程，利用点在椭圆上，可求E的坐标，利用直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，可求F的坐标，从而可得直线EF的斜率，问题得解．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线斜率的求解，解题的关键是直线与椭圆方程联立，确定点的坐标，属于中档题．