（Ⅰ）若k＞0且函数在区间
上存在极值，求实数k的取值范围；（Ⅱ）如果当x≥2时，不等式
恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：n≥2，（2•3-2）（3•4-2）…[n（n+1）-2][（n+1）（n+2）-2]＞e2n-3．在线课程解（Ⅰ）因为 函数f（x）=
，x＞0，则 f′（x）=-
，当 0＜x＜1时，＞0；当 x＞1时，f′（x）＜0．
所以 f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，
所以函数f（x）在 x=1处取得极大值；…．（2分）
因为函数f（x）在区间
（其中k＞0）上存在极值，所以
解得
；…．（4分）（Ⅱ）不等式
，又x≥2，则
，
，则
；…．（6分）令h（x）=x-2lnx，则
，∵x≥2，h′（x）≥0，∴h（x）在[2，+∞）上单调递增，∴h（x）min=h（2）=2-2ln2＞0，从而 g′（x）＞0，故g（x）在[2，+∞）上也单调递增，所以g（x）min=g（2）=2（1+ln2），
所以．a≤2（1+ln2）；…．（8分）
（Ⅲ）由（2）知：当a=3时，
恒成立，即
，
，令 x=n（n+1）-2，则
；…．（10分）所以
，
，…，，
n个不等式相加得
＞2n-3即（2•3-2）（3•4-2）…（n（n+1）-2）（（n+1）（n+2）-2）＞e2n-3…．（14分）
分析：（Ⅰ）求出函数的导数，根据导数的符号判断函数的单调性，从而得到函数的极值为f（1），再由函数f（x）在区间
（其中k＞0）上存在极值可得，由此求得实数k的取值范围．（Ⅱ）由题意可得x≥2时，
，根据导数的符号判断函数的单调性，求出函数
最小值，从而得到实数a的取值范围．（Ⅲ）由（2）知：当a=3时，
恒成立，即，令 x=n（n+1）-2，则．可得 ，，…，，把这n个不等式相加化简即得所证．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数在某点取得极值的条件，函数的恒成立问题，不等式性质的应用，属于难题．