可以证明，对任意的n∈N^*，有（1+2+…+n）²=1³+2³+…+n³成立．下面尝试推广该命题：
（1）设由三项组成的数列a₁，a₂，a₃每项均非零，且对任意的n∈{1，2，3}有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，求所有满足条件的数列；
（2）设数列{a_n}每项均非零，且对任意的n∈N^*有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，数列{a_n}的前n项和为S_n．求证：a_n+1²-a_n+1=2S_n，n∈N^*；
（3）是否存在满足（2）中条件的无穷数列{a_n}，使得a₂₀₁₁=2009？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）； 若不存在，说明理由．在线课程解：（1）取n=1，有a₁²=a₁³，又a₁≠0，所以a₁=1．
取n=2，有（1+a₂）²=1+a₂³，于是a₂（a₂-2）（a₂+1）=0，又a₂≠0，所以a₂=-1或2．
取n=3，有（1+a₂+a₃）²=1+a₂³+a₃³，
当a₂=-1时，a₃²=a₃³，又a₃≠0，所以a₃=1．
当a₂=2时，（1+2+a₃）²=1+2³+a₃³，整理得a₃（a₃-3）（a₃+2）=0，所以a₃=3或-2．
综上，说有满足条件的数列为1，-1，1，或1，2，3，或1，2，-2．
（2）由已知，S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³，用n+1替换n，得到（S_n-a_n+1）²=a₁³+…+a_n+1³，两式相减，
有a_n+1³-（S_n-a_n+1）²-S_n²=（2S_n-a_n+1）a_n+1，因a_n+1≠0，所以a_n+1²-a_n+1=2S_n，n∈N⁺
（3）存在，1，-1，1，2，3，…，2008，2009，2010，…是一个满足条件的无穷数列．
分析：（1）取n=1，求出首项a₁的值，取n=2，求出a₂的值，取n=3，可求出a₃的值，从而求出所求；
（2）由已知，S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³，用n+1替换n，得到（S_n-a_n+1）²=a₁³+…+a_n+1³，两式相减，可证得结论；
（3）满足（2）中条件的数列递推式为a_n+1=a_n+1或-a_n．所以符合a₂₀₁₁=2009的数列的前2011项为1，2，…，k-1，k-k，k，k-1，…，2009，之后的项只需满足递推式即可．但要注意不能出现值为0的项．
点评：本题主要考查了数列的应用，同时考查了数列的求和，同时考查了推理能力，属于中档题．