设点F是抛物线L：y²=4x的焦点，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…P_n（x_n，y_n）是抛物线L上的n个不同的点n（n≥3，n∈N^*）
（1）若抛物线L上三点P₁、P₂、P₃的横坐标之和等于4，求的值；
（2）当n≥3时，若，求证：；
（3）若将题设中的抛物线方程y²=4x推广为y²=2px（p＞0），请类比小题（2），写出一个一般化的命题及其逆命题，并判断其逆命题的真假．若是真命题，请予以证明；若是假命题，请说明理由．在线课程解：（1）抛物线l的焦点为F（1，0），设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），
分别过P₁、P₂、P₃作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q₁、Q₂、Q₃，
∴=（x₁+）+（x₂+）+（x₃+）=x₁+x₂+x₃+3
∵x₁+x₂+x₃=4，∴=7
（2）设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分别过P₁、P₂、P₃，…，P_n作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n
∴=（x₁+1）+（x₂+1）+（x₃+1）+…+（x_n+1）=x₁+x₂+x₃+…+x_n+n
∵
∴x₁+x₂+x₃+…+x_n=n
∴=n+n=2n
（3）当n≥3时，若，求证：；
逆命题：当n≥3时，“若，则”
设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分别过P₁、P₂、P₃，…，P_n作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n
∴=（x₁+）+（x₂+）+（x₃+）+…+（x_n+）=x₁+x₂+x₃+…+x_n+
∵
∴x₁+x₂+x₃+…+x_n=
∴=+=np
逆命题为假命题：取n=4时，抛物线l的焦点为F（，0），设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），P₄（x₄，y₄），分别过P₁、P₂、P₃，P₄作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q₁、Q₂、Q₃，Q₄，
∴=x₁+x₂+x₃+x₄+2p=4p
∴x₁+x₂+x₃+x₄=2p
不妨取，，，，则
故，，，是一个当n=4时，该逆命题的一个反例．
分析：（1）抛物线l的焦点为F（1，0），设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），利用抛物线的定义，结合x₁+x₂+x₃=4，可得结论；
（2）设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分别过P₁、P₂、P₃，…，P_n作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n，利用抛物线的定义可得x₁+x₂+x₃+…+x_n=n，从而可证=2n
（3）当n≥3时，若，求证：；
逆命题：当n≥3时，“若，则”
取n=4时，抛物线l的焦点为F（，0），设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），P₄（x₄，y₄），分别过P₁、P₂、P₃，P₄作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q₁、Q₂、Q₃，Q₄，利用抛物线的定义，可得x₁+x₂+x₃+x₄=2p，从而可得结论．
点评：本题考查抛物线的定义，考查向量的运算，解题的关键是正确运用抛物线的定义，难度较大．