设函数，方程x=f（x）有唯一解，其中实数a为常数，，f（x_n）=x_n+1（n∈N^*）
（1）求f（x）的表达式；
（2）求x₂₀₁₁的值；
（3）若且，求证：b₁+b₂+…+b_n＜n+1．在线课程解：（1）由，可化简为ax（x+2）=x∴ax²+（2a-1）x=0
∴当且仅当时，方程x=f（x）有唯一解．
从而
（2）由已知f（x_n）=x_n+1（n∈N^*），得
∴，即
∴数列是以为首项，为公差的等差数列．，∴
∵，
∴，即
∴
故
（3）证明：∵，
∴∴
∴
故b₁+b₂+…+b_n＜n+1．
分析：（1）由方程x=f（x）有唯一解，则ax²+（2a-1）x=0有唯一解，知 ，由此能求出f（x）的表达式；
（2）由f（x_n）=x_n+1，知，由 等差数列的定义可求出数列{x_n}的通项公式；
（3）由
b₁+b₂+…+b_n-n＜1，由此能证明b₁+b₂+…+b_n＜n+1．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意通项公式的求法和裂项公式的合理运用，属于中档题．