已知函数y=f（x）满足，且．
如果存在正项数列{a_n}满足：=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）求证：；
（3）求证：．在线课程解：（1），∴y=f（x）=x³-x+1（x≠0）
∵f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_n）-n=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n（n∈N^*）．
所以代入得a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²a_n ①
又a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=（n-1）²a_n-1（n≥2）②
①-②得 则…（4分）
（2）由（1）得=
∴…（9分）
（3）∵∴
而=
所以…（14分）
分析：（1）利用，可得y=f（x）=x³-x+1（x≠0），代入f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_n）-n=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n（n∈N^*）．可得a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²a_n ．再写一式a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=（n-1）²a_n-1（n≥2），相减，再利用叠乘法求数列{a_n}的通项；
（2）由（1）得=，利用放缩法可证；
（3）利用放缩法得=
代入求和即证．
点评：本题的考点是数列与不等式的综合，主要考查叠乘法求数列的通项，考查裂项法求和，考查放缩法，关键是合理运用通项，巧妙放缩．