过P(2.1)作直线L与x轴正半轴.y轴的正半轴分别交于A.B两点.设∠BAO=2α.当△AOB的周长最小时.cotα= ．

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编辑：chaxungu时间：2026-04-27 15:41:02分类：高中数学题库

过P（2，1）作直线L与x轴正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，设∠BAO=2α（O为坐标原点），当△AOB的周长最小时，cotα=________．在线课程3
分析：先用2α的三角函数表示△AOB的周长，进而导数求最值，从而得解．
解答：由题意，△AOB的周长可表示为 $\text{[math]}$
令tan2α=t，则周长为y= $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
令y′=0，可得 $\text{[math]}$
∵函数在区间（0， $\text{[math]}$ ）上单调减，在（ $\text{[math]}$ ，+∞）上单调增，
∴函数在 $\text{[math]}$ 时，取得极小值，且为最小值．
∴当 $\text{[math]}$ 时，周长最小
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴cotα=3
故答案为：3
点评：本题以直线为载体，考查导数的运用，计算要细心．

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