已知数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：1，2，，…；当a=-时，得到有穷数列：-，-1，0．
（Ⅰ）求当a为何值时a₄=0；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1=（n∈N₊），求证a取数列{b_n}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a_n}；
（Ⅲ）若＜a_n＜2（n≥4），求a的取值范围．在线课程解：（I）解法1：∵a_n+1=1+，∴a_n=，∵a₄=0，∴a₃=-1，a₂=-，a=a₁=-；
解法2：∵a₁=a，a_n+1=1+，∴a₂=．a₃=，a₄=，∵a₄=0，∴a=-．
（II）∵b_n+1=，∴b_n=+1，
若a取数列{b_n}的一个数b_n，即a=b_n，则a₂=1+=1+=b_n-1，a₃=1+=1+=b_n-2，
∴a_n-1=b₁=-1，∴a_n=1+=0
所以数列{a_n}只能有n项为有穷数列．
（III）解法一：因为＜a_n＜2（n≥4）?（n≥5）??＜a_n-1＜2（n≥5）
所以＜a_n＜2（n≥4）?＜a₄＜2?＜＜2?a＞0
这就是所求的取值范围．
分析：（I）解法1：由设条件知a_n=，由a₄=0，导出a₃=-1，进而导出a₂=-，由此可知a=a₁=-．
解法2：由a₁=a，a_n+1=1+，可以推导出a₄=0，由此可知a=-．
（II）由b_n+1=，知b_n=+1，若a=b_n，则由题设条件能够推出a_n=1+=0所以数列{a_n}只能有n项为有穷数列．
（III）由题设条件可知（n≥5），由此能够推出a的取值范围．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细计算，避免错误．