数列{a_n}的各项均为正值，a₁，对任意n∈N^*，，b_n=log₂（a_n+1）都成立．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）当k＞7且k∈N^*时，证明对任意n∈N^*都有成立．在线课程解：（1）由，
得（a_n+1+2a_n+1）（a_n+1-2a_n-1）=0，
数列{a_n}的各项为正值，a_n+1+2a_n+1＞0，
∴a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁+1=2≠0，
∴数列{a_n+1}为等比数列．
∴，，
即为数列{a_n}的通项公式．
∵b_n=log₂（a_n+1），
∴．
（2）设S=
=，
∴2S=（）+（）+（）+…+（），
当x＞0，y＞0时，x_y，，
∴（x+y）（）≥4，
∴，当且仅当x=y时等号成立．
在2S=（）+（）+（）+…+（），中，k＞7，n＞0，
n+1，n+2，…，nk-1全为正，
所以2S＞+=，
∴S＞＞=2（1-）＞2（1-）=，
故对任意n∈N^*都有成立．
分析：（1）由，得（a_n+1+2a_n+1）（a_n+1-2a_n-1）=0，由数列{a_n}的各项为正值，知a_n+1+2a_n+1＞0，故a_n+1=2a_n+1，再由b_n=log₂（a_n+1），能求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）设S==，由2S=（）+（）+（）+…+（），所以2S＞+=，由此能够证明对任意n∈N^*都有成立．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．解题时要注意构造法的合理运用．