在数列{a_n}和{b_n}中，，b_n=（a+1）n+b，n=1，2，3，…，其中a≥2且a∈N^*，b∈R．设A={a₁，a₂，a₃，…}，B={b₁，b₂，b₃，…}，试问在区间[1，a]上是否存在实数b使得C=A∩B≠∅．若存在，求出b的一切可能的取值及相应的集合C；若不存在，试说明理由．在线课程解：设存在实数b∈[1，a]，使C=A∩B≠∅，
设m₀∈C，则m₀∈A，且m₀∈B，
设，，则a^t=（a+1）s+b，所以，
因为a，t，s∈N^*，且a≥2，所以a^t-b能被a+1整除． …（4分）
（1）当t=1时，因为b∈[1，a]，a-b∈[0，a-1]，所以； …（5分）
（2）当t=2n（n∈N^*）时，，
由于b∈[1，a]，所以b-1∈[0，a-1]，0≤b-1＜a+1，
所以，当且仅当b=1时，a^t-b能被a+1整除．…（7分）
（3）当t=2n+1（n∈N^*）时，，
由于b∈[1，a]，所以b+1∈[2，a+1]，
所以，当且仅当b+1=a+1，即b=a时，a^t-b能被a+1整除．．…（9分）
综上，在区间[1，a]上存在实数b，使C=A∩B≠∅成立，
当b=1时，C={y|y=a²ⁿ，n∈N^*}；
当b=a时，C={y|y=a²ⁿ⁺¹，n∈N^*}． …（10分）
分析：设存在实数b∈[1，a]，使C=A∩B≠∅，设m₀∈C，则m₀∈A，且m₀∈B，利用数列的通项，可得a^t=（a+1）s+b，从而可得，根据a，t，s∈N^*，且a≥2，可得a^t-b能被a+1整除，再分类讨论，即可求得结论．
点评：本题考查演绎推理，考查数列知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．