A.B.C是△ABC的三个内角.f(A)=4sinA-sin2+sin2A+1．=2.求角A,-m-2cosA＜0当A时恒成立.求实数m的取值范围．

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编辑：chaxungu时间：2026-04-27 15:04:29分类：高中数学题库

A、B、C是△ABC的三个内角，f（A）=4sinA-sin² $数学公式$ +sin2A+1．
（1）若f（A）=2，求角A；
（2）若f（A）-m-2 $数学公式$ cosA＜0当A $数学公式$ 时恒成立，求实数m的取值范围．在线课程解：（1）若f（A）=2，则4sinA•sin² $\text{[math]}$ +sin2A+1=2，即4sinA $\text{[math]}$ +2sinAcosA=1．
解得sinA= $\text{[math]}$ ，∴A= $\text{[math]}$ ，或 A= $\text{[math]}$ ．
（2）若f（A）-m-2 $\text{[math]}$ cosA＜0当A $\text{[math]}$ 时恒成立，
则当A $\text{[math]}$ 时，有2sinA+1-m-2 $\text{[math]}$ cosA＜0，即sin（A- $\text{[math]}$ ）＜ $\text{[math]}$ 恒成立，
故 $\text{[math]}$ 大于sin（A- $\text{[math]}$ ）的最大值．
由- $\text{[math]}$ ≤A- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，∴sin（A- $\text{[math]}$ ）的最大值为 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，∴m＞3．
故实数m的取值范围为（3，+∞）．
分析：（1）利用二倍角公式化简f（A）=2，可得sinA= $\text{[math]}$ ，从而求得 A 的值．
（2）由题意可得当A $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 大于sin（A- $\text{[math]}$ ）的最大值，根据A- $\text{[math]}$ 的范围求得sin（A- $\text{[math]}$ ）的最大值为 $\text{[math]}$ ，
故有 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，由此求得实数m的取值范围．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换的应用，得到 $\text{[math]}$ 大于sin（A- $\text{[math]}$ ）的最大值，是解题的关键．

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