已知椭圆和双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，它们有相同的焦点F₁（-5，0）、F₂（5，0），且它们的离心率e都可以使方程x²+（1-2e）x+2e-1=0有相等的实根，求椭圆和双曲线的标准方程．在线课程解：由题意可设椭圆的方程为
双曲线的方程为
且c₁=c₂=5
设椭圆的离心率为 e₁，0＜e₁＜1，
双曲线的离心率为e₂，e₂＞1
又e₁，e₂使得方程x²+（1-2e）x+2e-1=0有相等的实根，
所以△=（1-2e）²-4×（2e-1）=0
解得，或，
即，，
所以可得
所以所求椭圆方程为，
双曲线的方程为
分析：设出椭圆方程及双曲线的方程，利用二次方程有两个相等的实根，令其判别式为0，求出两个根，据焦点坐标求出椭圆和双曲线方程．
点评：解决椭圆与双曲线问题要注意椭圆的离心率的范围为（0，1）；双曲线离心率的范围为（1，+∝）．