已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，对于任意的正整数n都有a_n•a_n+1≠1，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，则S₂₀₁₂=________．在线课程4023
分析：再写一式，两式相减可推断出a_n+3=a_n，进而可知数列{a_n}是以3为周期的数列，通过a₁=1，a₂=2，求得a₃，而2012=3×670+2，故可知S₂₀₁₂的答案．
解答：依题意可知，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，a_n-1a_na_n+1=a_n-1+a_n+a_n+1，
两式相减得a_na_n+1（a_n+2-a_n-1）=a_n+2-a_n-1，
∵a_n•a_n+1≠1，
∴a_n+2-a_n-1=0，即a_n+3=a_n，
∴数列{a_n}是以3为周期的数列，
∵a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃，∴a₃=3
∴S₂₀₁₂=670×（1+2+3）+1+2=4023
故答案为：4023．
点评：本题考查数列的递推式和数列的求和问题，解题的关键是找出数列的周期性．