已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且．
（I）求证：；
（II）求a_n及S_n；
（III）求证：．在线课程解：（ I），（1），（2）（2分）
（2）-（1），得，∴．（3分）
（ II）当n=1时，； （4分）
由（ I），得
即 （7分）
将代入，得．（8分）
（ III）由，则即证
下证：当n≥4，n∈N^*时，2ⁿ≥n²．
①当n=4时，2⁴=4²，成立；当n=5时，2⁵＞5²，成立； （9分）
②假设当n=k（k≥4，k∈N^*）时，成立，即2^k≥k²，则
当n=k+1时，2^k+1≥2k²，令f（k）=2k²-（k+1）²=k²-2k-1，k≥4，k∈N^*，当k=4时有最小值7，故2k²＞（k+1）²，
∴2^k+1≥（k+1）²，即n=k+1成立；
由①②得结论成立．（11分）
于是，．
令k=4，5，6，…，n，各式相加，得，
又，
两式相加，得．（12分）
分析：分析：（Ⅰ）由S_n推出S_n+1的表达式，两式相减后即得；
（ II）当n=1时，；将代入，得；
（Ⅲ）由，则即证，下证：当n≥4，n∈N^*时，2ⁿ≥n²．然后利用数学归纳法法证明结果．
点评：点评：本题考查等比数列的定义，等比数列求和，数学归纳法等基础知识，考查计算能力、推理论证能力、综合发现问题解决问题的能力以及分类讨论思想．