已知椭圆过点，且离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．在线课程解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率∴∴a=2c∴b²=a²-c²=3c²
∴椭圆方程为又点在椭圆上∴∴c²=1
∴椭圆的方程为…（4分）
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）由
消去y并整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0…（6分）
∵直线y=kx+m与椭圆有 两个交点△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即m²＜4k²+3…（8分）
又∴MN中点P的坐标为…（9分）
设MN的垂直平分线l'方程：
∵p在l'上∴即4k²+8km+3=0
∴…（11分）
将上式代入得
∴
即或，∴k的取值范围为
分析：（Ⅰ）由题意知椭圆的离心率，故椭圆方程为，又点在椭圆上，由此能导出椭圆的方程．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由，消去y并整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由直线y=kx+m与椭圆有两个交点，知m²＜4k²+3．又，知MN中点P的坐标为，由此能求出k的范围．
点评：本题考查椭圆方程和k的取值范围，解题时要认真审题，仔细解答，注意椭圆的灵活运用，合理地进行等价转化．