用2n个相同的元件（例如整流二极管）组成一个系统，有两种不同的连接方式，第Ⅰ种是先串联后并联，如图一：第Ⅱ种是先并联后串联，如图二．如果每个元件能否正常工作是相互独立的，且每个元件能正常工作的概率为r（元件或系统能正常工作的概率通常称为可靠度）．

（1）分别求出图一和图二系统能正常工作的概率P₁和P₂；
（2）请你比较一下两个系统哪一个更可靠一些（即可靠度更大一些）？并加以证明．在线课程解：（1）对于图一，有P₁=rⁿ（2-rⁿ）
对于图二，有P₂=rⁿ（2-r）ⁿ
（2）n=1时，P₁=P₂，n≥2时，（2-r）ⁿ＞2-rⁿ
证明：①n=2时，左边=4-4r+r²，∵2r＜r²+1，∴左边＞右边
②假设n=k（k≥2）时，（2-r）^k＞2-r^k成立，则当n=k+1时，
∵2-r＞r＞0，∴（2-r）^k＞r^k，又0＜r＜1，∴（1-r）[（2-r）^k-r^k]＞0
∴（2-r）^k+1＞（2-r）^k+r^k-r^k+1，
由归纳假设知命题成立，
由①、②知，n≥2时，（2-r）ⁿ＞2-rⁿ．
分析：（1）根据第Ⅰ种是先串联后并联；第Ⅱ种是先并联后串联，每个元件能否正常工作是相互独立的，且每个元件能正常工作的概率为r，可知有P₁=rⁿ（2-rⁿ），P₂=rⁿ（2-r）ⁿ
（2）可得结论n=1时，P₁=P₂，n≥2时，（2-r）ⁿ＞2-rⁿ，再用数学归纳法证明．
点评：本题以实际问题为载体，考查概率知识，要注意区分两种连接方式，并注意数学归纳法的证题步骤．