已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁（-c，0）、F₂（c，0），离心率为，椭圆上的动点P到直线l：x=的最小距离为2，延长F₂P至Q使得||=2a，线段F₁Q上存在异于F₁的点T满足．
（1）求椭圆的方程；
（2）求点T的轨迹C的方程；
（3）求证：过直线l：x=上任意一点必可以作两条直线与T的轨迹C相切，并且过两切点的直线经过定点．在线课程（1）解：依题意，∵椭圆离心率为，椭圆上的动点P到直线l：x=的最小距离为2，
∴，…（2分）
∴，∴b²=a²-c²=3 …（3分）
∴椭圆的方程为 …（4分）
（2）解：设点T的坐标为（x，y）．
当P，T重合时，点T坐标为（2，0）和点（-2，0），…（5分）
当P，T不重合时，由，得．…（6分）
由||=2a及椭圆的定义，||=||-||=2a-||=||，…（7分）
所以PT为线段F₁Q的垂直平分线，T为线段F₁Q的中点
在△QF₁F₂中，=||=a=2，…（8分）
所以有x²+y²=4．
综上所述，点T的轨迹C的方程是x²+y²=4．…（9分）
（3）证明：直线l：x=与x²+y²=4相离，过直线上任意一点M（4，t）可作圆x²+y²=4③的两条切线ME，MF …（10分）
所以OE⊥ME，OF⊥MF，所以O，E，M，F四点都在以OM为直径的圆上，…（11分）
其方程④…（12分）
EF为两圆的公共弦，③-④得：EF的方程为4x+ty-4=0 …（13分）
显然无论t为何值，直线EF经过定点（1，0）．…（14分）
分析：（1）根据椭圆离心率为，椭圆上的动点P到直线l：x=的最小距离为2，建立方程组，即可求得椭圆的方程；
（2）设点T的坐标，分类讨论：当P，T重合时，点T坐标为（2，0）和点（-2，0：当P，T不重合时，由，得，由||=2a及椭圆的定义，可得PT为线段F₁Q的垂直平分线，T为线段F₁Q的中点，由此可求点T的轨迹C的方程；
（3）设两条切线为ME，MF，则可得O，E，M，F四点都在以OM为直径的圆上，可求圆的方程，进而可得两圆的公共弦的方程，即可得到结论．
点评：本题主要考查椭圆的标准方程，考查平面向量知识，考查圆的方程，考查运算求解能力及创新意识，属于中档题．