已知x+2y+3z=1，则x²+y²+z²取最小值时，x+y+z的值为________．在线课程
分析：由柯西不等式可知：（x+2y+3z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+3²），故x²+y²+z²≥，当且仅当 取等号，此时y=2x，z=3x，x+2y+3z=14x=1，由此能求出x+y+z的值．
解答：由柯西不等式可知：（x+2y+3z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+3²）
故x²+y²+z²≥，当且仅当 取等号，
此时y=2x，z=3x，x+2y+3z=14x=1，
∴x=，y=，x=，
x+y+z=．
故答案为：．
点评：本题考查柯西不等式的应用，解题时要认真审题，注意x²+y²+z²取最小值时的条件的灵活运用．