设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）为椭圆上两个不同的动点，圆O的方程为x²+y²=a²．
（1）如图，若向圆O内随机投一点A，点A落在椭圆C的概率为，椭圆C上的动 点到其焦点的最近距离为．椭圆C的面积为πab．
（i）求椭圆C的标准方程；
（ii）若点B（0，1）且，求直线OP的低斜率；
（2）若直线OP和OQ的斜率之积为，请探点M（x₁，x₂）与圆O的位置关系，并说明理由．

在线课程解：（1）（i）由已知得，又a²=b²+c²，解得a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为．
（ii）由，得（-x₂，1-y₂）=（x₁，y₁），
∴，
结合圆的对称性知点P，Q关于y轴对称且PQ的中点坐标为（0，），
故直线PQ的方程为，从而得，
∴．
（2）由题意知直线OP的斜率存在，设其方程为y=kx，
代入，整理，得①
由，用代替①中的k，得
，
∴=a²，
∴点M（x₁，x₂）在圆O：x²+y²=a²上．
分析：（1）（i）由已知得，又a²=b²+c²，由此能得到椭圆C的方程．
（ii）由，得（-x₂，1-y₂）=（x₁，y₁），所以，结合圆的对称性知点P，Q关于y轴对称且PQ的中点坐标为（0，），由此能求出直线OP的斜率．
（2）设OP方程为y=kx，代入，得，由，得，所以=a²，由此知点M（x₁，x₂）在圆O：x²+y²=a²上．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．