一个圆锥和一个半球有公共底面.如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等.则圆锥轴截面顶角的余弦值是A.B.C.D.

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编辑：chaxungu时间：2026-04-27 15:33:17分类：高中数学题库

一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是
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分析：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，求出圆锥的高，利用体积相等，求出2θ的余弦值即可．
解答：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，则圆锥的高 H=R•ctgθ
圆锥的体积 V₁= $\text{[math]}$ πR²•H= $\text{[math]}$ πR³ctgθ
半球的体积 V₂= $\text{[math]}$ πR³∵V₁=V₂即： $\text{[math]}$ πR³ctgθ= $\text{[math]}$ πR³∴ctgθ=2
∴cos2θ= $\text{[math]}$
故选D．
点评：本题考查旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积，考查计算能力，是基础题．

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一个圆锥和一个半球有公共底面.如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等.则圆锥轴截面顶角的余弦值是A.B.C.D.

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