已知函数（k＞0）（e为自然对数的底数）
（1）求f（x）的极值
（2）对于数列{a_n}，（n∈N^*）
①证明：a_n＜a_n+12
②考察关于正整数n的方程a_n=n是否有解，并说明理由．在线课程解：（1）由f′（x）=2kx（-e）=0得，x=0或x=±，
∴f（x）在 （-∞，-）单调递减，（-，0）单调递增，（0，）单调递减，（，+∞）单调递增，
∴f（x）_极大=f（0）=1，f（x）_极小值==0，
（2）①当k=1时，f（x）==，
由（1）知f（x）在（1，+∞）上递增，从而a_n＜a_n+1
②由a_n=n，得=n²+n，
因n∈N₊，得 n²-1是整数，所以是无理数，
而n²+n为整数，所以≠n²+n
即方程a_n=n无解
分析：（1）由f′（x）=0可求得x=0或x=±，从而可求得其单调区间，继而可求得f（x）的极值；
（2）①观察得知，当k=1时，f（x）=，a_n=，利用f（x）在（1，+∞）上递增，即可证得a_n＜a_n+1；
（3）由a_n=n，得=n²+n，分析等号两端即可得到答案．
点评：本题考查利用导数研究函数的极值，着重考查利用导数研究函数的单调性，突出分类讨论思想与转化思想的综合运用，属于难题．