如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1．
（I）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（II）求二面角B-AB₁-D的大小；
（III）求点c到平面AB₁D的距离．在线课程解法一（I）证明：

连接A₁B，设A₁B∩AB₁=E，连接DE．
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，且AA₁=AB，
∴四边形A₁ABB₁是正方形，
∴E是A₁B的中点，
又D是BC的中点，
∴DE∥A₁C．…（3分）
∵DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．…（4分）
（II）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，
在面A₁ABB₁内作FG⊥AB₁于点G，连接DG．
∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，∴DF⊥平面A₁ABB₁，
∴FG是DG在平面A₁ABB₁上的射影，
∵FG⊥AB₁，∴DG⊥AB₁
∴∠FGD是二面角B-AB₁-D的平面角 …（7分）
设A₁A=AB=1，在正△ABC中，DF=．
在△ABE中，，
在Rt△DFG中，，
所以，二面角B-AB₁-D的大小为．…（9分）
（III）解：∵平面B₁BCC₁⊥平面ABC，且AD⊥BC，
∴AD⊥平面B₁BCC₁，又AD?平面AB₁D，
∴平面B₁BCC₁⊥平面AB₁D．
在平面B₁BCC₁内作CH⊥B₁D交B₁D的延长线于点H，
则CH的长度就是点C到平面AB₁D的距离．…（12分）
由△CDH∽△B₁DB，得．
即点C到平面AB₁D的距离是．…（14分）
解法二：
建立空间直角坐标系D-xyz，如图

（I）证明：
连接A₁B，设A₁B∩AB₁=E，连接DE．
设A₁A=AB=1，
则．∴，∴，
∴A₁C∥DE．…（3分）
∵DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．…（4分）
（II）解：∵，
∴，
设n₁=（p，q，r）是平面AB₁D的法向量，
则，
故；
同理，可求得平面AB₁B的法向量是．…（7分）
设二面角B-AB₁-D的大小为θ，
∵，
∴二面角B-AB₁-D的大小为．…（9分）
（III）解由（II）得平面AB₁D的法向量为n₁=（2，0，1），
取其单位法向量．
∴点C到平面AB₁D的距离．…（14分）
分析：法一（I）连接A₁B，设A₁B∩AB₁=E，连接DE．由ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，且AA₁=AB，知四边形A₁ABB₁是正方形，由此能够证明A₁C∥平面AB₁D．
（II）在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A₁ABB₁内作FG⊥AB₁于点G，连接DG．因为平面A₁ABB₁⊥平面ABC，所以DF⊥平面A₁ABB₁，∠FGD是二面角B-AB₁-D的平面角．由此能求出二面角B-AB₁-D的大小．
（III）因为平面B₁BCC₁⊥平面ABC，且AD⊥BC，所以AD⊥平面B₁BCC₁，又AD?平面AB₁D，所以平面B₁BCC₁⊥平面AB₁D．在平面B₁BCC₁内作CH⊥B₁D交B₁D的延长线于点H，由此能求出点C到平面AB₁D的距离．
解法二：
（I）建立空间直角坐标系D-xyz，连接A₁B，设A₁B∩AB₁=E，连接DE．设A₁A=AB=1，则，，所以A₁C∥DE．由此能够证明A₁C∥平面AB₁D．
（II）由，知，设n₁=（p，q，r）是平面AB₁D的法向量，=（），同理，可求得平面AB₁B的法向量是．由此能求出二面角B-AB₁-D的大小．
（III）平面AB₁D的法向量为n₁=（2，0，1），取其单位法向量．由此能求出点C到平面AB₁D的距离．
点评：本题考查直线和平面平行，求二面角的大小和求点到平面的距离，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意转化思想的灵活运用，合理地运用向量法解题．