已知不共线的两个向量..||=||=3.若.且||=.则||的最小值为．

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编辑：chaxungu时间：2026-04-27 15:14:39分类：高中数学题库

已知不共线的两个向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ，| $数学公式$ |=| $数学公式$ |=3，若 $数学公式$ （0＜λ＜1），且| $数学公式$ |= $数学公式$ ，则| $数学公式$ |的最小值为________．在线课程 $\text{[math]}$
分析：通过 $\text{[math]}$ ，求出| $\text{[math]}$ |²，| $\text{[math]}$ |最小时 $\text{[math]}$ 最大．利用3=| $\text{[math]}$ |²，通过基本不等式求出 $\text{[math]}$ 的最大值，然后求出|AB|的最小值是 $\text{[math]}$ ．
解答： $\text{[math]}$ ，
| $\text{[math]}$ |²=（ $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ ）
=| $\text{[math]}$ |²+| $\text{[math]}$ |²-2（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）
=18-2（ $\text{[math]}$ ），
| $\text{[math]}$ |最小时 $\text{[math]}$ 最大．
3=| $\text{[math]}$ |²=[λ $\text{[math]}$ +（1-λ） $\text{[math]}$ ]•[λ $\text{[math]}$ +（1-λ） $\text{[math]}$ ]
=9λ²+9（1-λ）²+2λ（1-λ）（ $\text{[math]}$ ），
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =9+ $\text{[math]}$ =9+ $\text{[math]}$ ；
因为λ（1-λ）≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以λ（1-λ）的最大值是 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ≤9- $\text{[math]}$ =-3．
所以 $\text{[math]}$ 的最大值是-3，
| $\text{[math]}$ |²=18-2（ $\text{[math]}$ ）≥18+6=24，
所以|AB|的最小值是 $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查向量的基本运算，向量模的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．

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