设S_n是正项数列{a_n的前n项和，且．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在等比数列{b_n}，使 a₁b₁+a₂b₂+L+a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2 对一切正整数n都成立？并证明你的结论．
（3）设，且数列{C_n}的前n项和为T_n，试比较与的大小．在线课程解：（1）由S_n=+a_n- 得S_n+1=，
相减并整理得 （a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0
又由于a_n+1+a_n＞0，则a_n+1=a_n+2，故{a_n}是等差数列．
∵+a₁²-，所以a₁=3
故a_n=2n+1 …4分
（2）当n=1，2时，a₁b₁=2²（2×1-1）+2=6，
a₁b₁+a₂b₂=2³（2×2-1）+2=26，可解得b₁=2，b₂=4，猜想b_n=2ⁿ，使a₁b₁+a₂b₂+…
+a_nb_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+2成立．
证明：3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）2ⁿ=2ⁿ⁺¹（2n-1）+2恒成立．
令S=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）2ⁿ ①
2S=3•2²+5•2³+7•2⁴+…+（2n+1）2ⁿ⁺¹ ②
②-①得：S=（2n+1）2ⁿ⁺¹-2•2ⁿ⁺¹+2=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2，
故存在等比数列{b_n}符合题意…8分
（3）C_n=＜=（）
则T_n=c₁+c₂+…+c_n（+…+）=（-）＜
故…12分
分析：（1）本题已知数列前n项和的表达式，求通项通常用a_n=S_n-S_n-1，求通项，再验证n=1时，是否适合所求的通式，若符合就写成统一式，否则，写成分段的形式；
（2）假设存在这样的等比数列{b_n}，使 a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2 对一切正整数n都成立，故可先研究前两项，找出规律，提出猜想，再进行证明得出结论；
（3）由（1），将a_n=2n+1代入，求出C_n的表达式，再所其形式求出列{C_n}的前n项和为T_n，由和的形式与的比较即可得到它们的大小关系．
点评：本题考查数列与不等式的综合，考查了数列递推式的应用，错位相减法求和的技巧放缩法证明不等式，解题的关键是熟练掌握错位相减法的技巧，放缩法的技巧，本题中第二问先研究前两项得出规律，提出猜想，再进行证明是研究规律不明显的问题时常用的思路，第三问中用到了放大的技巧，要注意不要放得过大，放缩法证明不等式技巧性很强，需要有有较高的观察能力与判断能力，既要放，又不能放得过了头，谨记