已知函数f（x）=x²+lnx．
（I）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x³图象的下方；
（II）求证：[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．在线课程证明：（I）设F（x）=x²+lnx-x³，则，
∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上是减函数．
又F（1）=-＜0，故在[1，+∞）上，F（x）＜0，即x²+lnx＜x³，
∴在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x³图象的下方；---------（6分）
（II）∵x＞0，∴[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）=．
当n=1时，不等式显然成立；
当n≥2时，有[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）=++…+
=[++…+]
≥（++…+）=2ⁿ-2
∴[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．--------------------（12分）
分析：（I）构造F（x）=x²+lnx-x³，利用导数确定在[1，+∞）上，F（x）＜0，即可得到结论；
（II）x＞0时，[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）=，利用二项式定理，结合基本不等式，即可证得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．