如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点，
（Ⅰ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）求二面角B₁-DC-B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥C₁-B₁CD的体积．在线课程（Ⅰ）证明：连接C₁B，设CB₁与C₁B的交点为E，
连接DE，由四棱柱侧面为平行四边形知E是BC₁的中点，
∵D是AB的中点，∴DE∥AC₁，
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）解：过B作BF⊥CD，垂足为F，连接B₁F，则∠B₁FB为二面角B₁-DC-B的平面角
∵AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点，∴由等面积可得=
∴BF=
∵AA₁=4，∴B₁F=
∴二面角B₁-DC-B的平面角的余弦值为=；
（Ⅲ）解：三棱锥C₁-B₁CD的体积等于三棱锥D-C₁B₁C的体积，即==4．
分析：（Ⅰ）连接C₁B，设CB₁与C₁B的交点为E，连接DE，由四棱柱侧面为平行四边形知E是BC₁的中点，由此能够证明AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）过B作BF⊥CD，垂足为F，连接B₁F，则∠B₁FB为二面角B₁-DC-B的平面角，由此可得结论；
（Ⅲ）三棱锥C₁-B₁CD的体积等于三棱锥D-C₁B₁C的体积，由此可得结论．
点评：本题考查直线与平面的垂直的判定，二面角的求法，考查三棱锥体积的计算，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．