已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x₁、x₂，都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1，
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；在线课程解：（1）证明：令x₁=x₂=1，得f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
令x₁=x₂=-1，得f（-1）=0．
∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x）．
∴f（x）是偶函数．

（2）证明：设x₂＞x₁＞0，则
f（x₂）-f（x₁）=f（x₁• ）-f（x₁）
=f（x₁）+f（）-f（x₁）=f（ ）．
∵x₂＞x₁＞0，∴＞1．
∴f（ ）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0．
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
分析：（1）先令x₁=x₂=1，得到f（1）=0，再令x₁=x₂=-1，得f（-1）=0．然后用主条件证明f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x）得证．（2）先任取两个变量，界定大小，再作差变形看符号．
点评：本题主要考查单调性和奇偶性的判断与证明．严格落实定义．