已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．
（1）确定a与b的关系；
（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；
（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂）
证明：．在线课程解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax²+bx，则，
由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）=1+2a+b=0，
∴b=-2a-1．
（2）由（1）得=．
∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），∴当a=0时，，
由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，
即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；
当a＞0时，令g'（x）=0得x=1或，
若，即时，由g'（x）＞0得x＞1或，由g'（x）＜0得，
即函数g（x）在，（1，+∞）上单调递增，在单调递减；
若，即时，由g'（x）＞0得或0＜x＜1，由g'（x）＜0得，
即函数g（x）在（0，1），上单调递增，在单调递减；
若，即时，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0，
即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
综上得：当a=0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；
当时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在单调递减；在上单调递增；
当时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当时，函数g（x）在上单调递增，在单调递减；在（1，+∞）上单调递增．
（3）证法一：依题意得，
证，即证，因x₂-x₁＞0，即证，
令（t＞1），即证（t＞1），
令（t＞1），则＞0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴h（t）＞h（1）=0，即（t＞1）②
综合①②得（t＞1），即．
证法二：依题意得，
令h（x）=lnx-kx，则，
由h'（x）=0得，当时，h'（x）＜0，当时，h'（x）＞0，
∴h（x）在单调递增，在单调递减，又h（x₁）=h（x₂），
∴，即．
证法三：令，则，
当x＞x₁时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在（x₁，+∞）单调递减，
∴当x₂＞x₁时，，即；
同理，令，可证得．
证法四：依题意得，

令h（x）=x-x₁lnx+x₁lnx₁-x₁，则，当x＞x₁时，h'（x）＞0，∴函数h（x）在（x₁，+∞）单调递增，
∴当x₂＞x₁时，h（x₂）＞h（x₁）=0，即x₁lnx₂-x₁lnx₁＜x₂-x₁
令m（x）=x-x₂lnx+x₂lnx₂-x₂，则，当x＜x₂时，m'（x）＜0，∴函数m（x）在（0，x₂）单调递减，
∴当x₁＜x₂时，m（x₁）＞h（x₂）=0，即x₂-x₁＜x₂lnx₂-x₂lnx₁；
所以命题得证．
分析：（1）利用导数的几何意义即可得出；
（2）通过求导得到g^′（x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；
（3）证法一：利用斜率计算公式，令（t＞1），即证（t＞1），令（t＞1），通过求导利用函数的单调性即可得出；
证法二：利用斜率计算公式，令h（x）=lnx-kx，通过求导，利用导数研究其单调性即可得出；
证法三：：令，同理，令，通过求导即可证明；
证法四：利用斜率计算公式，令h（x）=x-x₁lnx+x₁lnx₁-x₁，及令m（x）=x-x₂lnx+x₂lnx₂-x₂，通过求导得到其单调性即可证明．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、分类讨论思想方法、根据所证明的结论恰当的构造函数、一题多解等是解题的关键．