已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，，点D为AC的中点，点E在线段AA₁上
（I）当AE：EA₁=1：2时，求证DE⊥BC₁；
（Ⅱ）是否存在点E，使三棱锥C₁-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积的，若存在，求AE的长，若不存在，请说明理由．在线课程解：（Ⅰ）证明：因为正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以三角形△ABC是正三角形，
又因为D是AC的中点，所以BD⊥AC，又平面ABC⊥平面CAA₁C₁，所以BD⊥DE，
因为AE：EA₁=1：2，AB=2，，所以AE=，AD=1，
所以在Rt△ADE中，∠ADE=30°，
在Rt△DCC₁中∠C₁DC=60°，
所以∠EDC₁=90°即：DE⊥BC₁．
（Ⅱ）设AE=h，则A₁E=，
∴=
=
=，
∵BD⊥平面ACC₁A₁，

又，
∴
解得：h=，
故存在点E，E为A₁时，三棱锥C₁-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积的，
分析：（I）证明BD⊥DE，说明△ADE是直角三角形，求出∠ADE=30°，说明△DCC₁是直角三角形，求出∠C₁DC=60°，然后证明DE⊥BC₁．
（Ⅱ）设AE=h，利用=，通过求出棱锥的体积，利用三棱锥C₁-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积的，求出h，然后说明存在E即可．
点评：本题考查直线与直线的垂直的证明，棱锥的体积的求法，存在性问题的解题的策略，考查空间想象能力以及逻辑推理与计算能力．