设函数f（x）=ln（1+x）-kx，（k＞0）
（1）讨论函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，并说明理由；
（2）已知正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=3a_n+2ⁿ（n∈N^*），设数列{1+}的前n项乘积为T_n，求证：．在线课程解：（1）∵f′（x）=-k=（k＞0），
若f′（x）=0，则x=-1，又x≥0，
∴当0＜k＜1时，-1＞0，即f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，-1）上单调递增，在（-1，+∞）上单调递减；
当k=1，f′（x）=＜0，f（x）在[0，+∞）上单调递减；
当k＞1，在区间[0，+∞）上f′（x）=＜0恒成立，故f（x）在[0，+∞）上单调递减；
（2）∵a_n+1=3a_n+2ⁿ（n∈N^*），
∴a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ），
∴=3，又a₁+2=3，
∴{a_n+2ⁿ}是以3为首项，3为公比的等比数列，
∴a_n+2ⁿ=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ-2ⁿ．
∴1+=1+，
要证T_n=（1+）（1+）…（1+）＜，
只要证ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜．
即证ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）-＜0．①
由（1）知，当k=1时，f（）=ln（1+）-，
∴f（）+f（）+…+f（）=ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）-（++…+），
∵{a_n}为正项数列，由（1）可知k=1时，f（x）在[0，+∞）上单调递减，＞0，
∴f（）＜f（0）=0，
∴ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）-（++…+）＜0，
即ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜（++…+），②
由①②知，只需证++…+＜即可．
∵=1，=＜（n≥2），
∴++…+＜1++…+=1+=1+-＜成立．
∴ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜．
分析：（1）求得f′（x）=，根据其定义域，对k分类讨论即可得f（x）在[0，+∞）上的单调性；
（2）利用{a_n+2ⁿ}是以3为首项，3为公比的等比数列可求得a_n，从而可得1+，利用分析法，放缩法即可证得结论．
点评：本题考查利用导数研究函数单调性，数列递推关系、放缩法、分析法等知识；同时考查学生的化归与转化能力能力、探索数学交汇问题的解决策略；考查数学建模思想，函数、方程思想的综合应用．