已知:..是同一平面上的三个向量.其中=(1.2)．(1)若||=2.且∥.求的坐标．(2)若||=.且+2与2-垂直.求与的夹角θ

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编辑：chaxungu时间：2026-04-27 16:29:54分类：高中数学题库

已知： $数学公式$ 、 $数学公式$ 、 $数学公式$ 是同一平面上的三个向量，其中 $数学公式$ =（1，2）．
（1）若| $数学公式$ |=2 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ∥ $数学公式$ ，求 $数学公式$ 的坐标．
（2）若| $数学公式$ |= $数学公式$ ，且 $数学公式$ +2 $数学公式$ 与2 $数学公式$ - $数学公式$ 垂直，求 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的夹角θ在线课程解：（1）设 $\text{[math]}$ （1分）
∵ $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ 且| $\text{[math]}$ |=2 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，（3分）
∴x=±2（5分）
∴ $\text{[math]}$ =（2，4）或 $\text{[math]}$ =（-2，-4）（6分）
（2）∵（ $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ）⊥（2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
∴（ $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ）•（2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=0（8分）
∴2 $\text{[math]}$ ²+3 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ ²=0
∴2| $\text{[math]}$ |²+3| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |cosθ-2| $\text{[math]}$ |²=0
∴2×5+3× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ cosθ-2× $\text{[math]}$ =0
∴cosθ=-1（10分）
∴θ=π+2kπ
∵θ∈[0，π]
∴θ=π（12分）
分析：（1）设出 $\text{[math]}$ 的坐标，利用它与 $\text{[math]}$ 平行以及它的模等于2 $\text{[math]}$ ，待定系数法求出 $\text{[math]}$ 的坐标．
（2）由 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ 与2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 垂直，数量积等于0，求出夹角θ的余弦值，再利用夹角θ的范围，求出此角的大小．
点评：本题考查平面上2个向量平行、垂直的条件，以及利用2个向量的数量积求2个向量的夹角．

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