已知函数f（x）=ax²+bx+c，且．
（1）求证：a＞0且；
（2）求证：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）设x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，求|x₁-x₂|的范围．在线课程（1）证明：∵f（1）=a+b+c=-，∴c=-a-b
∴3a＞2c=-3a-2b，∴3a＞-b，
∵2c＞2b，∴-3a＞4b；
若a＞0，则；若a=0，则0＞-b，0＞b，不成立；若a＜0，则，不成立．
（2）证明：∵f（x）=ax²+bx+c，a＞0，b＜0，
∴-b＞a＞-b
f（2）=4a+2b+c=；f（0）=c=-a-b
f（0）×f（2）=-（a+b）²+b²＜0
又因为是连续函数，故（0，2）中必有零点
∴在（0，2）区间内至少必有一个点f（x）=0，即在此区间内至少有一个零点
（3）解：∵x₁+x₂=-；x₁x₂=
又b=-（c+a）
∴|x₁-x₂|²=（x₁ +x₂）²-4x₁x₂=（）²=（-）²+2≥2
即|x₁-x₂|²≥2
∴|x₁-x₂|≥
分析：（1）根据f（1）=a+b+c=-，可得c=-a-b，结合3a＞2c＞2b，可得结论；
（2）利用零点存在定理，证明ff（0）×f（2）＜0即可；
（3）|x₁-x₂|²=（x₁ +x₂）²-4x₁x₂==（-）²+2≥2，由此可得结论．
点评：本题考查函数的零点，考查韦达定理的运用，考查不等式的证明，属于中档题．