对于每个自然数n.一元二次函数y=(n2+n)x2-x+1与x轴交于An.Bn两点.以|AnBn|表示该两点间的距离.则|A1B1|+|A2B2|+-+|A2014B2014|的值是A.B.C.D.

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编辑：chaxungu时间：2026-04-27 15:50:55分类：高中数学题库

对于每个自然数n，一元二次函数y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1与x轴交于A_n，B_n两点，以|A_nB_n|表示该两点间的距离，则|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₄B₂₀₁₄|的值是
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分析：先确定A_n，B_n的坐标，代入两点间的距离公式可得到|A_nB_n|的关系式，然后代入，利用叠加法，即可求得结论．
解答：∵y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1=（nx-1）[（n+1）x-1]，
∴由y=0得x= $\text{[math]}$ 或x= $\text{[math]}$
∴A_n（ $\text{[math]}$ ，0），B_n（ $\text{[math]}$ ，0），
∴|A_nB_n|= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₄B₂₀₁₄|= $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故选C．
点评：本题考查数列与函数的综合，考查学生分析问题与转化求解的能力，属于中档题．

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对于每个自然数n.一元二次函数y=(n2+n)x2-x+1与x轴交于An.Bn两点.以|AnBn|表示该两点间的距离.则|A1B1|+|A2B2|+-+|A2014B2014|的值是A.B.C.D.

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