设两个非零向量和不共线．(1)如果=+.=.=.求证:A.B.D三点共线,(2)若=2.=3.与的夹角为60°.是否存在实数m.使得m与垂直?

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编辑：chaxungu时间：2026-04-27 15:39:20分类：高中数学题库

设两个非零向量 $数学公式$ 和 $数学公式$ 不共线．
（1）如果 $数学公式$ = $数学公式$ + $数学公式$ ， $数学公式$ = $数学公式$ $数学公式$ ， $数学公式$ = $数学公式$ $数学公式$ ，求证：A、B、D三点共线；
（2）若 $数学公式$ =2， $数学公式$ =3， $数学公式$ 与 $数学公式$ 的夹角为60°，是否存在实数m，使得m $数学公式$ $数学公式$ 与 $数学公式$ $数学公式$ 垂直？在线课程证明：（1）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）=6（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=6 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有共同起点，∴A、B、D三点共线

（2）假设存在实数m，使得m $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 垂直，则（m $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）=0
∴ $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ =2， $\text{[math]}$ =3， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为60°
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴4m+3（1-m）-9=0，
∴m=6，故存在实数m=6，使得m $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 垂直．
分析：（1）要证A、B、D三点共线，只需证明 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 即可．
（2）要使m $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 垂直，，则（m $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）=0，展开求出m的值即可．
点评：本题考查了平面向量的共线与垂直，属于基础题型．

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