已知点P是抛物线x2=4y上一个动点.过点P作圆x2+(y-4)2=1的两条切线.切点分别为M.N.则线段MN长度的最小值是．

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编辑：chaxungu时间：2026-04-27 14:42:08分类：高中数学题库

已知点P是抛物线x²=4y上一个动点，过点P作圆x²+（y-4）²=1的两条切线，切点分别为M，N，则线段MN长度的最小值是________．在线课程 $\text{[math]}$
分析：先确定MN=2ME= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可得PO值最小时，MN取最小值，进而求出PO最小值即可．
解答：设圆心为O（0，4），PO与MN交于E，则PO²=PM²+1，MN=2ME= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴当PO值最小时，MN取最小值；设P（x，y），则PO²=x²+（y-4）²=y²-4y+16=（y-2）²+12
当y=2时，PO²有最小值12，
∴线段MN长度的最小值是 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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