A.α＜a＜β＜bB.a＜α＜b＜βC.a＜α＜β＜bD.α＜a＜b＜β在线课程C
分析：先设g（x）=（x-a）（x-b），从条件中得到f（x）的图象可看成是由g（x）的图象向上平移1个单位得到，然后结合图象判定实数α，β、a、b的大小关系即可．
解答：
解：设g（x）=（x-a）（x-b），则f（x）=（x-a）（x-b）+1，
分别画出这两个函数的图象，其中f（x）的图象可看成是由g（x）的图象向上平移1个单位得到，
如图，
由图可知：a＜α＜β＜b．
故选C．
点评：本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，难度较大，关键是借助两个函数的图象对a，b，α，β大小关系的讨论，为了避免这种讨论采用数形结合的方法来解题．