已知椭圆的离心率是．
（1）证明：a=2b；
（2）设点P为椭圆上的动点，点，若的最大值是，求椭圆的方程．在线课程解：（1）证明：设椭圆的半焦距为c．
因为椭圆的离心率是，所以 ，即a=2b．
（2）设点P（x，y）．
则=，其中-b≤y≤b．
①若2，则当y=-b3时，4取得最大值．
由题设，，，这与矛盾．
②若，则当时，取得最大值．
由题设，，解得b=1，从而a=2．
故椭圆方程为．
分析：（1）根据离心率为=以及c²=a²-b²，即可证明结论．
（2）设P（x，y）由//的最大值为，求得b的值，从而求得椭圆方程．
点评：本题主要考查椭圆的基本性质，并渗透了向量、函数最值等问题，此题要注意对b的范围进行分类讨论，属于基础题．