测度理论是实变函数论的基础。

所谓测度，通俗的讲就是测量几何区域的尺度。我们知道直线上的闭区间的测度就是通常的线段长度；平面上一个闭圆盘的测度就是它的面积。

对于更一般的集合，我们能不能定义测度呢？比如直线上所有有理数构成的集合，它的测度怎么衡量呢？

一个简单的办法，就是先在每个有理点上找一个开区间覆盖它，就好比给它带个“帽子”。因为有理数集是可列集（就是可以排像自然一样排好队，一个个数出来，也叫可数集，见集合论），所以我们可以让第n个有理数上盖的开区间长度是第一个有理数（比方是1）上盖的开区间长度的2^n分之一。这样所有那些开区间的长度之和是个有限值（就是1上的开区间长度的2倍）。

现在我们让1上的开区间逐渐缩小趋向于一个点，那么所有区间的总长度也相应缩小，趋向于长度0。这样我们就说有理数集的测度是0。用上面这种方法定义的测度也叫外测度。

一个几何区域有了测度，我们就可以定义上面的函数的积分，这是推广的黎曼积分。

比如实数上的狄利克雷函数d(x)=1(如果x是有理数)，0（如果x是无理数）。如果按照通常的理解，我们发现狄利克雷函数在整个数轴上的定积分不存在；但是按照上面讲的有理数的测度，我们就可以求出它的定积分是0。



实直线上的测度如下给出：



设e是实数集，考虑可数个区间(aj,bj)满足对任何x∈e,都有某个j,使得x∈(aj,bj);考虑所有情形下和(b1-a1)+(b2-a2)+..的下确界称为e的外测度



如果对任何集合f都有e∩f和f\e的外测度之和等于f的外测度，称e可测，定义其测度等于外测度



直观含义上面的朋友已经解释过了
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测度的相关数学定义：
集函数：设Ψ是上的非空集合类。若对于每个一个a∈Ψ,都有一个实数或者±∞之一与之对应(为确定起见，下面假定只取+∞)，记为φ(a)，且至少有一个a∈Ψ,使得φ(a)取有限值，称φ(a)为定义在Ψ上的集函数。
(1)若对任意的正整数n以及任意的ai∈Ψ，i=1，2……，n，ai∩aj=ø(i≠j)，且(a1∪a2∪…ai∪…an)∈Ψ，有
φ(a1∪a2∪…ai∪…an)=∑[φ(a1)∪φ(a2)∪…φ(ai)∪…φ(an)]，
则称φ在Ψ上具有有限可加性，也称φ是Ψ上的有限可加集函数。
(2)若对可列集的ai∈Ψ，i=1，2……，n，ai∩aj=ø(i≠j)，且(a1∪a2∪…ai∪…a∞)∈Ψ，有
φ(a1∪a2∪…ai∪…a∞)=∑[φ(a1)∪φ(a2)∪…φ(ai)∪…φ(a∞)]，
则称φ在Ψ上具有完全可加性或者б-可加性，也称φ是Ψ上的б-可加集函数或者广义测度。
(3)若对每一个a∈Ψ，φ(a)都取有限值，则称φ为上的有限集函数。如果对每一个a∈Ψ，存在一个集合序列⊂Ψ，使得
a⊂(a1∪a2∪…ai∪…a∞)，φ(an)<+∞，n=1，2，……
则称φ是Ψ上的б-有限集函数。
(4)若集函数为有限可加且只取非负值则称为有限可加测度。若集函数为б-可加，且只取非负值，则称为测度，用μ或ν表示。具有性质Ω∈Ψ且ν(Ω)=1的测度，称为概率测度或者简称概率，一般用p表示。