已知sinθ+cosθ=,θ∈,求cotθ的值.

已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),求cotθ的值.

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解法一:∵sinθ+cosθ=,

两边平方得1+2sinθcosθ=,

∴2sinθcosθ=-.

∵θ∈(0,π),∴cosθ＜0＜sinθ.

由(sinθ-cosθ)²=1-2sinθcosθ=,

得sinθ-cosθ=.

将其与sinθ+cosθ=联立方程组,

得sinθ=,cosθ=-.

∴cotθ==-.

解法二:∵θ∈(0,π),sinθ+cosθ=＜1,

∴θ∈(,π),cosθ＜0.

依题意和基本三角恒等式,得方程组

消去sinθ,得25cos²θ-5cosθ-12=0,

解得cosθ=-或cosθ=＞0(舍去).

∴sinθ=-cosθ=-(-)=,

cotθ==-.