(1)若a.b都是非零向量,在什么条件下向量a+b与a-b共线?(2)已知两个非零向量e1和e2不共线,如果=2e1+3e2, =6e1+23e2, =4e1-8e2,求证:A.B.D三点共线.

(1)若a、b都是非零向量,在什么条件下向量a+b与a-b共线?

(2)已知两个非零向量e₁和e₂不共线,如果=2e₁+3e₂, =6e₁+23e₂, =4e₁-8e₂,求证:A、B、D三点共线.

在线课程

(1)解析:∵a、b都是非零向量,则a+b与a-b中至少有一个不为零向量,不妨设a+b≠0,则由a+b与a-b共线知存在实数λ,使a-b=λ(a+b),

∴(1-λ)a=(1+λ)b.

∵a≠0,且b≠0,

∴λ≠±1.

从而b=a,故a∥b.

综上,可知当a∥b时,a+b与a-b共线.

(2)证明:

∵=++=(2e₁+3e₂)+(6e₁+23e₂)+(4e₁-8e₂)=12e₁+18e₂=6(2e₁+3e₂)

=6,

∴向量与向量共线.

又∵与有共同的起点A,

∴A、B、D三点共线.

点评：两向量是否共线,关键是能否找到一个实数λ,使b=λa.证明三点共线,第一步应由这三点得到两个向量,第二步应通过计算将一向量用另一向量表示(即共线),最后由两向量有公共点得三点共线.