设函数f(x)=a·(b+c),其中向量a=,b=,c=,x∈R. 的最大值和最小正周期;的图象按向量d平移,使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称,求长度最小的d.

设函数f(x)=a·(b+c),其中向量a=(sinx,-cosx),b=(sinx,-3cosx),c=(-cosx,sinx),x∈R.

(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;

(2)将函数y=f(x)的图象按向量d平移,使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称,求长度最小的d.

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解析:(1)由题意得f(x)=a·(b+c)

=(sinx,-cosx)·(sinx-cosx,sinx-3cosx)

=sin²x-2sinxcosx+3cos²x

=2+cosx-sin2x

=2+2sin(2x+).

故f(x)的最大值为2+,最小正周期为=π.

(2)由sin(2x+)=0,得2x+=kπ,即x=-,k∈Z.

于是d=(-,-2),

|d|=,k∈Z.

因为k为整数,要使|d|最小,则只有k=1,此时d=(-,-2)即为所求.