隔河测算A.B两目标的距离,在岸边取C.D两点,测得CD=200 m,∠ADC=105°,∠BDC=15°,∠BCD=120°,∠ACD=30°,求A.B间的距离.

隔河测算A、B两目标的距离,在岸边取C、D两点,测得CD=200 m,∠ADC=105°,∠BDC=15°,∠BCD=120°,∠ACD=30°,求A、B间的距离.

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解析一:如下图,在△ADC中,

∵∠ADC=105°,∠ACD=30°,CD=200,由正弦定理得

,

∴AC=

==100(+1).

在△BCD中,=,

∴BC==100(-1).

在△ABC中,

∵∠ACB=120°-30°=90°,

∴AB²=AC²+BC²=［100(+1)］²+［100(-1)］²=100²×8.

∴AB=200=282.8.

故A、B间的距离是282.8 m.

解析二:在△ADC中,

∵=,

∴AD==.

在△DBC中,

∵,

∴BD==100.

在△ABD中,

∵∠ADB=105°-15°=90°,

∴AB²=AD²+BD²=(100)²+(100)²=100²×8.

∴AB=200.

解析三:同解析二可求得AD=100,易证△ADO与△BCO都是等腰直角三角形,

∴AD=OD=100.

∴AO=AD=200.

在△OCD中,由正弦定理可得

OC=100(-1).

∴OB=OC=100(-).

在△OAB中,由余弦定理得

AB²=OA²+OB²-2·OA·OBcos135°

=200²+100²(-)²-2×200×100(-)·(-)=8×100².

∴AB=200.

解析四:∵∠ADO=∠BCO=90°,

∴A、B、C、D四点共圆,且AB是外接圆直径.

∴AB=2R==200.

点评：解斜三角形时,由于选取的三角形不同,因此解题思路不一,本题有四种不同的解法.但要注意尽可能多地考虑解直角三角形或利用平面几何知识求解,这样计算较为简便.