如图所示,D是Rt△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.(1)证明sinα+cos2β=0;(2)若AC=DC,求β的值.

如图所示,D是Rt△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.

(1)证明sinα+cos2β=0;

(2)若AC=DC,求β的值.

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(1)证明:因为α=-∠BAD=-(π-2β)=2β-,

所以sinα=sin(2β-)=-cos2β,

即sinα+cos2β=0.

(2)解析:在△ADC中,由正弦定理得

=,即=.

所以sinβ=sinα.

由(1),sinα=-cos2β,

所以sinβ=-cos2β=-(1-2sin²β),

即2sin²β-sinβ-=0.

解得sinβ=或sinβ=-.

因为0＜β＜,

所以sinβ=.

从而β=.