设a与b是两个互相垂直的单位向量,问当k为整数时,向量m=ka+b与向量n=a+kb的夹角能否等于60°?证明你的结论.

设a与b是两个互相垂直的单位向量,问当k为整数时,向量m=ka+b与向量n=a+kb的夹角能否等于60°?证明你的结论.

在线课程

解析:假设夹角等于60°,

∵|m|²=|ka+b|²=(ka+b)²=k²+1,

|n|²=|a+kb|²=(a+kb)²=k²+1,

m·n=(ka+b)·(a+kb)=2k,

∴2k=××cos60°,

即4k=k²+1,解得k=2±,这与k为整数矛盾.

∴m与n的夹角不能等于60°.